Inversigebla elemento

elemento de ringo kiu havas inverson
(Alidirektita el Unuo (ringa teorio))

En matematiko, inversigebla elemento[1] en ringo estas elemento, kiu havas multiplikan inverson.

DifinoRedakti

Se   estas ringo, la inverso de elemento   estas tia elemento  , ke

 .

Tia elemento estas unika, se ĝi ekzistas, kaj estas skribata  .

Elemento, kies inverso ekzistas, estas inversigebla. Alivorte, s estas inversigebla elemento de la multiplika monoido de R.

En pluraj lingvoj, oni uzas la terminon unuo (angle unit, france unité, germane Einheit), sed ĉi tiu termino estas konfuza, ĉar ĝi estas ankaŭ kutime uzata por nomi la multiplikan neŭtralan elementon 1R de la ringo R en esprimoj de la tipo ringo kun unuo (t.e. 1-hava ringo) kaj ankaŭ ekz. unuomatrico. (Tial iuj aŭtoroj nomas la elementon 1R "unuaĵo", kaj diras, ke R estas "ringo kun unuaĵo" aŭ "1-hava ringo", sed ne "ringo kun unuo".)

Grupo de inversigeblaj elementojRedakti

La inversigeblaj elementoj de R konsistigas grupon U(R) sub multipliko, kiu nomiĝas la grupo de iniversigeblaj elementoj de R. Por la grupo de universigeblaj elementoj U(R) oni kelkfoje uzas la notacion R*R×.

En komuta ringo R, la grupo de inversigeblaj elementoj U(R) agas sur R multiplike. La orbitoj de ĉi tiu ago estas nomataj aroj de asociitoj; alivorte, estas ekvivalentrilato   sur R nomita asocieco tia, ke

 .

La grupo de inversigeblaj lementoj estas funktoro de la kategorio de ringoj al la kategorio de grupoj:

 .

Ĉiu ringa homomorfio f : RS difinas grupan homomorfion

U(f) : U(R) → U(S),

ĉar ringa homomorfio bildigas inversigeblajn elementojn al inversigeblaj elementoj. La ĉi-supra funktoro havas maldekstran adjunkton: la entjerkoeficienta grupa ringo

 .

Ringo R estas korpo se kaj nur se ĉiu nenula elemento estas inversigebla:

 .

EkzemplojRedakti

  • En la ringo de entjeroj  , la inversigeblaj elementoj estas ±1. La asociitoj estas paroj n kaj −n.
  • Ĉiu radiko de unu estas inversigebla en ĉiu unuohava ringo R. (Se r estas radiko de unu, kaj rn = 1, tiam r−1 = rn − 1 estas ankaŭ ero de R per fermaĵo sub multipliko.) En algebra nombroteorio, la unua teoremo de Dirichlet montras la ekziston de multaj inversigeblaj elementoj en la ringoj de algebraj entjeroj. Ekzemple, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1.
  • En la ringo   de n×n kvadrataj matricoj super iu korpo  , la inversigeblaj elementoj estas precize la inversigeblaj matricoj.

ReferencojRedakti

  1. Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: invers/ig/ebl/a “ en ringo la inversigeblaj elementoj estas la divizoroj de la unuo.”