5-simplaĵo
(6-4-hiperĉelo)
(el simplaĵa familio)

5-kruco-hiperpluredro
(el kruco-hiperpluredra familio)

5-hiperkubo
(el hiperkuba familio)

5-duonvertica hiperkubo
(121 hiperpluredro de Gosset)
(el duonvertica hiperkuba kaj
duonregula k21 familioj)
Latero-verticaj grafeoj de tri regulaj kaj unu duonregula 5-hiperpluredroj

En geometrio, 5-hiperpluredro, estas 5-dimensia hiperpluredro en 5-dimensia spaco.

Difino

redakti

5-hiperpluredro estas fermita kvin-dimensia figuro kun verticoj, lateroj, edroj, kaj ĉeloj kaj 4-hiperĉeloj.

  • Vertico estas punkto kie kvin aŭ pli multaj lateroj kuniĝas.
  • Latero estas streko kie kvar aŭ pli multaj edroj kuniĝas.
  • Edro estas plurlatero kie tri aŭ pli multaj ĉeloj kuniĝas. Edro ludas rolon de kulmino.
  • Ĉelo estas pluredro kaj ludas rolon de kresto.
  • 4-hiperĉelo estas plurĉelo kaj ludas rolon de faceto.

Plue, jenaj postuloj devas esti kontentigitaj:

  • Ĉiu pluredra ĉelo estas komunigita per akurate du plurĉelaj facetoj.
  • Najbaraj facetoj estas ne en la sama kvar-dimensia hiperebeno.
  • La figuro ne estas kombinaĵo de aliaj figuroj kiuj aparte kontentigas la postulojn.

Regulaj 5-hiperpluredroj

redakti

Regula 5-hiperpluredroj povas esti prezentitaj per la simbolo de Schläfli {p, q, r, s}, kun 4-dimensiaj facetoj {p, q, r} en kvanto s ĉirkaŭ ĉiu edro. Estas akurate tri ĉi tiaj regulaj hiperpluredroj:

Ili ĉiuj estas konveksaj. Ne ekzistas ne konveksaj regulaj 5-hiperpluredroj .

La 5-simplaĵo konsistas el 6 facetoj, ĉiu faceto estas 4-hiperĉelo. Tiel 5-simplaĵo povas esti nomata ankaŭ kiel 6-4-hiperĉelo.

Regulaj kaj unuformaj 5-hiperpluredroj laŭ fundamentaj grupoj de Coxeter

redakti

La plena aro de konveksaj unuformaj 5-hiperpluredroj ne estas dume sciata, sed la vasta plejparto de regulaj kaj unuformaj 5-hiperpluredroj kun spegula simetrio povas esti generita per ĉi tiuj kvar grupoj de Coxeter, prezentitaj per permutoj de ringoj de la figuroj de Coxeter-Dynkin:

# Grupo de Coxeter Figuro de Coxeter-Dynkin
1 A5 [34]          
2 B5 [4, 33]          
3 D6 [32, 1, 1]        

Iuj konveksaj unuformaj 5-hiperpluredroj

redakti

La spacograndigita kontraŭprisma prismo

redakti

La spacograndigita kontraŭprisma prismo havas:

La A5 [3, 3, 3, 3] familio (5-simplaĵo)

redakti

Estas 19 formoj bazitaj sur ĉiuj permutoj de la figuroj de Coxeter-Dynkin kun unu aŭ pli multaj ringoj. (25-1 variantoj minus 12 simetriaj okazoj)

La konstruado estas surbaze de regula 5-simplaĵo (6-4-hiperĉelo).

# Figuro de Coxeter-Dynkin
Simbolo de Schläfli
Nomo
Kvantoj de facetoj laŭ situo: [3, 3, 3, 3] Kvantoj de eroj
4 3 2 1 0
         
[3, 3, 3]
(6)
         
[3, 3]×[ ]
(15)
         
[3]×[3]
(20)
         
[ ]×[3, 3]
(15)
         
[3, 3, 3]
(6)
4-hiperĉeloj Ĉeloj Edroj Lateroj Verticoj
1          
t0{3, 3, 3, 3}
6-4-hiperĉelo
 
5-ĉelo
{3, 3, 3}
- - - - 6 15 20 15 6
2          
t1{3, 3, 3, 3}
Rektigita 6-4-hiperĉelo
 
rektigita 5-ĉelo
t1{3, 3, 3}
- - -  
5-ĉelo
{3, 3, 3}
12 45 80 60 15
3          
t2{3, 3, 3, 3}
Durektigita 6-4-hiperĉelo
 
rektigita 5-ĉelo
t2{3, 3, 3}
- - -  
rektigita 5-ĉelo
t1{3, 3, 3}
12 60 120 90 20
4          
t0, 1{3, 3, 3, 3}
Senpintigita 6-4-hiperĉelo
 
senpintigita 5-ĉelo
t0, 1{3, 3, 3}
- - -  
5-ĉelo
{3, 3, 3}
12 45 80 75 30
5          
t1, 2{3, 3, 3, 3}
Dutranĉita 6-4-hiperĉelo
 
dutranĉita 5-ĉelo
t1, 2{3, 3, 3}
- - -  
senpintigita 5-ĉelo
t0, 1{3, 3, 3}
12 60 140 150 60
6          
t0, 2{3, 3, 3, 3}
Laterotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
laterotranĉita 5-ĉelo
t0, 2{3, 3, 3}
- -  
kvaredra prismo
{}×{3, 3}
 
rektigita 5-ĉelo
t1{3, 3, 3}
27 135 290 240 60
7          
t1, 3{3, 3, 3, 3}
Dulaterotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
laterotranĉita 5-ĉelo
t1, 3{3, 3, 3}
-  
duprismo
{3}×{3}
-  
laterotranĉita 5-ĉelo
t0, 2{3, 3, 3}
32 180 420 360 90
8          
t0, 3{3, 3, 3, 3}
Edrotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
edrotranĉita 5-ĉelo
t0, 3{3, 3, 3}
-  
duprismo
{3}×{3}
 
{}×t1{3, 3}
 
rektigita 5-ĉelo
t1{3, 3, 3}
47 255 420 270 60
9          
t0, 4{3, 3, 3, 3}
Ĉelotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
5-ĉelo
{3, 3, 3}
 
kvaredra prismo
{}×{3, 3}
 
duprismo
{3}×{3}
 
kvaredra prismo
{}×{3, 3}
 
5-ĉelo
{3, 3, 3}
62 180 210 120 30
10          
t0, 1, 2{3, 3, 3, 3}
Rektigitotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
rektigitotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2{3, 3, 3}
- -  
kvaredra prismo
{}×{3, 3}
 
senpintigita 5-ĉelo
t0, 1{3, 3, 3}
27 135 290 300 120
11          
t1, 2, 3{3, 3, 3, 3}
Durektigitotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
rektigitotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2{3, 3, 3}
-  
duprismo
{3}×{3}
-  
rektigitotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2{3, 3, 3}
32 180 420 450 180
12          
t0, 1, 3{3, 3, 3, 3}
Edroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
edroverticotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 3{3, 3, 3}
-  
duprismo
{6}×{3}
 
okedra prismo
{}×t1{3, 3}
 
edroverticotranĉita 5-ĉelo
t0, 2{3, 3, 3}
47 315 720 630 180
13          
t0, 2, 3{3, 3, 3, 3}
Edrolaterotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
edroverticotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 3{3, 3, 3}
-  
duprismo
{3}×{3}
 
senpintigita kvaredra prismo
{}×t0, 1{3, 3}
 
dutranĉita 5-ĉelo
t1, 2{3, 3, 3}
47 255 570 540 180
14          
t0, 1, 4{3, 3, 3, 3}
Ĉeloverticotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
senpintigita 5-ĉelo
t0, 1{3, 3, 3}
 
senpintigita kvaredra prismo
{}×t0, 1{3, 3}
 
duprismo
{3}×{6}
 
kvaredra prismo
{}×{3, 3}
 
edrotranĉita 5-ĉelo
t0, 3{3, 3, 3}
62 330 570 420 120
15          
t0, 2, 4{3, 3, 3, 3}
Ĉelolaterotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
laterotranĉita 5-ĉelo
t0, 2{3, 3, 3}
 
kubokedra prismo
{}×t0, 2{3, 3}
 
duprismo
{3}×{3}
 
kubokedra prismo
{}×t0, 2{3, 3}
 
laterotranĉita 5-ĉelo
t0, 2{3, 3, 3}
62 420 900 720 180
16          
t0, 1, 2, 3{3, 3, 3, 3}
Edrolateroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
entutotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2, 3{3, 3, 3}
-  
duprismo
{3}×{6}
 
senpintigita kvaredra prismo
{}×t0, 1{3, 3}
 
laterotranĉita 5-ĉelo
t0, 2{3, 3, 3}
47 315 810 900 360
17          
t0, 1, 2, 4{3, 3, 3, 3}
Ĉelolateroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
rektigitotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2{3, 3, 3}
 
senpintigita okedra prismo
{}×t0, 1, 2{3, 3}
 
duprismo
{3}×{6}
 
kubokedra prismo
{}×t0, 2{3, 3}
 
edroverticotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 3{3, 3, 3}
62 480 1140 1080 360
18          
t0, 1, 3, 4{3, 3, 3, 3}
Ĉeloedroverticotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
edroverticotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 3{3, 3, 3}
 
senpintigita kvaredra prismo
{}×t0, 1{3, 3}
 
duprismo
{6}×{6}
 
senpintigita kvaredra prismo
{}×t0, 1, 3{3, 3}
 
edroverticotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 3{3, 3, 3}
62 450 1110 1080 360
19          
t0, 1, 2, 3, 4{3, 3, 3, 3}
Entutotranĉita 6-4-hiperĉelo
 
entutotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2, 3{3, 3, 3}
 
senpintigita okedra prismo
{}×t0, 1, 2{3, 3}
 
duprismo
{6}×{6}
 
senpintigita okedra prismo
{}×t0, 1, 2{3, 3}
 
entutotranĉita 5-ĉelo
t0, 1, 2, 3{3, 3, 3}
62 540 1560 1800 720

Unuformaj prismaj formoj

redakti

Estas 6 unuformaj prismaj familioj de hiperpluredroj bazita sur unuformaj 4-hiperpluredroj:

# Grupo de Coxeter Figuro de Coxeter-Dynkin Unuformaj hiperpluredroj
1 A4 × A1 [3, 3, 3] × [ ]           9 unuformaj hiperpluredroj bazitaj sur regula 5-ĉelo
2 B4 × A1 [4, 3, 3] × [ ]           15 bazitaj sur regulaj 4-hiperkubo16-ĉelo
3 F4 × A1 [3, 4, 3] × [ ]           9 bazitaj sur regula 24-ĉelo
4 H4 × A1 [5, 3, 3] × [ ]           15 bazitaj sur regula 120-ĉelo600-ĉelo
5 D4 × A1 [31, 1, 1] × [ ]         8 bazitaj sur duonvertica 4-hiperkubo (16-ĉelo)
6 I2(p) × I2(q) × A1 [p] × [q] × [ ]           Malfinie multaj bazitaj sur la unuformaj duprismoj

Unuformaj duprismaj formoj

redakti

Estas 3 unuformaj duprismaj familioj de hiperpluredroj bazitaj sur karteziaj produtoj de la unuformaj pluredroj kaj regulaj plurlateroj: {q, r}×{p}:

# Grupo de Coxeter Figuro de Coxeter-Dynkin
1 A3 × I2(p) [3, 3] × [p]          
2 B3 × I2(p) [4, 3] × [p]          
3. H3 × I2(p) [5, 3] × [p]          

Konstruo de Wythoff por la unuformaj 5-hiperpluredroj

redakti

Konstruado per speguloj de la 5-dimensiaj unuformaj hiperpluredroj estas farita per konstruo de Wythoff kaj prezentita per figuro de Coxeter-Dynkin, kie ĉiu vertico prezentas spegulon. Estas ringita verticoj respektivaj kiuj speguloj estas aktiva. La plena aro de unuformaj hiperpluredroj generitaj estas bazita sur la unikaj permutoj de ringitaj verticoj. Iuj familioj havi du regulaj konstruiloj kaj tial povas havi du vojoj de nomantaj ilin. Notu, ke verticoj de figuro de Coxeter-Dynkin estas tute apartaj kaj malsamaj de verticoj de la hiperpluredroj.

Ĉi tio estas listo de la unuecaj operatoroj havebla por konstruanta kaj nomanta la unuformaj 5-hiperpluredroj.

En la listo estas ne ĉiuj eblaj operacioj. La sola donita en la listo kombinita tranĉo estas la entutotranĉo, sed eblas ankaŭ la aliaj kombinitaj tranĉoj.

La lasta operacio, la riproĉigo, kaj pli ĝenerale la alternado, estas la operacio kiu povas krei nememspegulsimetriajn formojn. Ĉi tiuj estas desegnitaj kiel truoj   je la verticoj.

La prismaj formoj kaj forkiĝantaj grafeoj povas uzi la saman indeksan skribmanieron, sed postulas eksplicitan numeradon sistemon sur la verticoj por klareco.

Operacio Etendita
Simbolo de Schläfli
Figuro de Coxeter-Dynkin Priskribo
Gepatro t0{p, q, r, s}           Regula 5-hiperpluredro
Rektigo t1{p, q, r, s}           La lateroj estas plene senpintigitaj en solajn punktojn.
Durektigo t2{p, q, r, s}           La edroj estas plene senpintigitaj en solajn punktojn.
Tranĉo (senpintigo) t0, 1{p, q, r, s}           Ĉiu originala vertico estas dehakita kaj anstataŭita per la nova 4-hiperĉelo pleniganta la truon. Tranĉo havas liberecon je profundo, do je amplekso de dehakata parto, kaj estas tiu profundo ke kreiĝas unuforma senpintigita 5-hiperpluredro. Kvantoj de flankoj de ĉiuj la originalaj edroj duobliĝas.
Laterotranĉo t0, 2{p, q, r, s}           Ĉiu originala latero estas bevelita. Novaj ortangulaj edroj aperas. Ankaŭ verticoj estas dehakitaj, sed ĝis minimuma ebla profundo.
Edrotranĉo t0, 3{p, q, r, s}          
Ĉelotranĉo t0, 4{p, q, r, s}          
Entutotranĉo t0, 1, 2, 3, 4{p, q, r, s}          
Riproĉigo s{p, q, q, s}           La riproĉigo prenas la entutotranĉitan formo kaj rektigas alternajn verticojn.

Regulaj kaj unuformaj kahelaroj

redakti

5-hiperpluredro povas esti konsiderata kiel kahelaro de 4-sfero (la 4-sfero estas sfero kiu estas 4-dimensia dukto, ĝi povas esti ricevita kiel rando de 5-dimensia pilko en 5-dimensia spaco; kutima sfero ekzistanta en 3-spaco estas 2-sfero). Tiel kahelaro de eŭklida 4-spaco estas simila al 5-hiperpluredro, la diferenco estas en kurbeco de la kahelata spaco.

Estas kvin fundamentaj afinaj grupoj de Coxeter kiuj generas regulajn kaj unuformajn kahelarojn en eŭklida 4-spaco:

# Grupo de Coxeter Figuro de Coxeter-Dynkin
1 A~4 p[35]    
2 B~4 [4, 3, 3, 4]          
3 C~4 h[4, 3, 3, 4]
[4, 33, 4]
       
4 D~4 q[4, 3, 3, 4]
[31, 1, 1, 1]
    
5 F~4 [3, 4, 3, 3]          

Estas tri regulaj kahelaroj de eŭklida 4-spaco:

Aliaj familioj kiuj generas unuformajn kahelarojn estas:

Piramidoj

redakti

Piramida 5-hiperpluredro, aŭ 5-piramido, povas esti generita de plurĉela bazo en 4-dimensia hiperebeno koneksa al punkto for de la hiperebeno. La 5-simplaĵo estas la plej simpla ekzemplo kun 4-simplaĵa bazo.

Vidu ankaŭ

redakti


Eksteraj ligiloj

redakti