Kampo-teorio (matematiko)

Kampoteorio (aŭ teorio de kampoj) estas branĉo de matematiko, kiu studas ecojn de kampoj. Kampo estas matematika strukturo, en kiu ekzistas adicio, subtraho, multipliko kaj divido kun la kutimaj reguloj pri asocieco, komuteco kaj distribueco.

HistorioRedakti

La koncepton kampo implice uzis Niels Henrik Abel kaj Évariste Galois (ebla plene esperantigita formo: Galezo) en sia laboro sur la solvebleco de ekvacioj.

En 1871, Richard Dedekind nomis "kampo" aron de reelaj aŭ kompleksaj nombroj, kiu estas fermita sub la kvar aritmetikaj operacioj.

En 1881, Leopold Kronecker difinis tion, kion li nomis "domajno de racieco", kiu estas kampo de polinomoj en modernaj terminoj.

En 1893, Heinrich Weber donis la unuan klaran abstraktan difinon de kampo.

Galezo, kiu eble ne havis la terminon "kampo" en sia menso, estas honorita por esti la unua matematikisto liginta grupo-teorion kaj kampo-teorion. Galeza teorio estas nomata honore al li. Tamen estis Emil Artin, kiu la unua ellaboris la interrilaton inter grupoj kaj kampoj en detaloj en 1928-1942.

EnkondukoRedakti

Kampoj estas gravaj studobjektoj en algebro, ĉar ili estas utila ĝeneraligo de multaj nombrosistemoj, ekzemple la raciaj nombroj, realaj nombroj kaj kompleksaj nombroj. En kampoj validas la kutimaj reguloj pri asocieco, komuteco kaj distribueco. Kampoj gravas ankaŭ por diversaj aliaj branĉoj de matematiko; vidu la ekzemplojn ĉi-sube.

La koncepto de kampo estis unuafoje (implicite) uzita por pruvi, ke ne ekzistas ĝenerala formulo, kiu per radikofunkcioj esprimas la solvojn de polinomo kun raciaj koeficientoj de grado 5 aŭ pli alta.

Pluigaĵo de kampoRedakti

Pluigaĵo de kampo k estas kampo K kiu entenas k kiel subkampon. Oni distingas inter vastigaĵoj kun diversaj ecoj. Ekzemple, pluigaĵo K de iu kampo k estas nomata algebra se ĉiu elemento de K estas solvo de iu plurtermo kun koeficientoj el k. Alikaze, ĝi estas nomata transcenda.

La celo de Galeza teorio estas studi algebrajn pluigaĵojn de kampo.

Tegaĵo de kampoRedakti

Por donita kampo k oni povas enkonduki diversajn specojn de tegaĵoj de k. Ekzemple la algebra tegaĵo, la apartigebla tegaĵo, la cikla tegaĵo ktp. La ideo estas ĉiam la sama: Se P estas iu eco de kampoj, tiam P-tegaĵo de k estas kampo K kiu entenas k, havas la econ P, kaj estas minimuma en la senco ke neniu subkampo de K kiu entenas k havas la econ P.

Ekzemple, se P(K) estas le eco "ĉiu nekonstanta plurtermo f en K[t] havas solvon en K"tiam P-tegaĵo de k estas la algebra tegaĵo de k.

Ĝenerale, se P-tegaĵoj ekzistas por iu eco P kaj kampo k, ili ĉiuj estas izomorfiaj. Tamen, ĝenerale ne estas preferinda izomorfio inter du tegaĵoj.

Aplikoj de kampo-teorioRedakti

La koncepto de kampo estas utila, ekzemple, por difini vektorojn kaj matricojn, du strukturojn en lineara algebro kies eroj povas esti elementoj de iu kampo.

Finiaj kampoj estas uzataj en nombroteorio, Galeza teorio kaj kodigoteorio, kaj denove algebra vastigaĵo estas grava ilo.

Duumaj kampoj, do kampoj kun karakteristiko 2, estas utilaj en komputoscienco. Ili estas kutime studataj kiel escepta okazo en finhavkampa teorio, ĉar en ili adicio kaj subtraho estas la sama operacio.

Utilaj teoremojRedakti

Vidu ankaŭRedakti