Konveksa unuforma kahelaro de eŭklida 3-spaco

En geometrio, konveksa unuforma kahelaro de eŭklida 3-spaco estas unuforma kahelaro de tri-dimensia eŭklida spaco kun ne-interkovrantaj konveksaj unuformaj pluredraj ĉeloj. Vorto konveksa ĉi tie ne estas uzata plene laŭ difino de la konveksa aro, sed analoge al kondiĉoj de konvekseco de hiperpluredro. Do, konveksa kahelaro estas kahelaro kiu verigas kondiĉojn de konvekseco de hiperpluredro, krom tio ke la angula difekto ne estas pozitiva.

Ekzistas 28 ĉi tiaj kahelaroj:

Ili povas esti konsiderataj la tri-dimensiaj analogoj de la unuformaj kahelaroj de la ebeno.

HistorioRedakti

  • 1900: Thorold Gosset skribis liston de duonregulaj konveksaj hiperpluredroj kun regulaj ĉeloj (platonaj solidoj) en sia eldono Pri la regula kaj duonregula figuroj en spaco de n dimensioj, inkluzivante unu regulan kuban kahelaron kaj du duonregulajn formojn kun kvaredroj kaj okedroj.
  • 1905: Alfredo Andreini listigis na 25 el ĉi tiuj kahelaroj.
  • 1991: Norman Johnson en manuskripto Unuformaj hiperpluredroj listigis la ĉiuj 28.
  • 1994: Branko Grünbaum, en sia papero Unuformaj kahelaroj de 3-spaco sendepende listigis la ĉiuj 28, post malkovro de eraroj en eldono de Andreini. Li trovis ke en la papero de Andreini 1 kahelaro estas erara, kaj 4 turnitaj kaj plilongigitaj formoj forestas. Grünbaum ankaŭ skribis ke I. Aleksejev de Rusio ankaŭ sendepende listigis ĉi tiujn formojn proksimume en la sama tempo.
  • 2006: George Olshevsky en sia manuskripto elvolvas plu derivitan liston de 143 konveksaj unuformaj kahelaroj de 4-spaco.

Nur 14 de la konveksaj unuformaj pluredroj aperi en ĉi tiuj ŝablonoj:

IndeksojRedakti

Por referencoj, ĉi tie estas donitaj indeksoj de la kahelaroj laŭ la laboroj de:

  • A - Andreini (1-22)
  • W - Williams (1-2,9-19)
  • J - Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65)
  • G - Grünbaum (1-28)

Ĉi tiuj kahelaroj iam estas nomataj kiel kahelaroj de Andreini.

Kahelaroj listigitaj laŭ malfiniaj grupoj de CoxeterRedakti

 
Grupoj de Coxeter en 3-spaco kun figuroj. Spegulaj triangulaj edroj estas markitaj per kontraŭa vertico 0...3.
Lateroj estas kolorigitaj per iliaj reflektaj ordoj:
ruĝa - ordo 2
verda - ordo 3
malhela blua - ordo 4.
R4 enspacas na 1/24 de la kubo. S4 enspacas na 1/12 de la kubo. P4 enspacas na 1/6 de la kubo.

La fundamentaj malfiniaj grupoj de Coxeter por eŭklida 3-spaco estas:

  • R4, [4,3,4], kuba,         (8 unikaj formoj, la alternita formo respektivas al la sekva alineo)
  • S4, h[4,3,4], alternita kuba,        (11 formoj, 4 novaj)
  • P4 cikla grupo,     (5 formoj, 1 nova)

La prismaj kolonoj de malfiniaj grupoj de Coxeter por eŭklida 3-spaco estas:

Aldone estas unu speciala plilongigita formo de la triangula (ebena) kahelaro kaj farita surbaze de ĝi plilongigita triangula prisma kahelaro (1 nova formo).

Aldone estas 5 specialaj kahelaroj kiu ne havas puran reflektan simetrion kaj estas konstruitaj de reflekte simetriaj formoj per operacioj plilongigo kaj turnigo.

R4, [4,3,4] grupo (kuba)Redakti

La regula kuba kahelaro, prezentis per simbolo de Schläfli {4,3,4}, donas 7 unikajn derivitajn unuformaj kahelaroj per tranĉaj operacioj. La edrotranĉita kuba kahelaro, estas inkluzivita por pleneco sed estas identa al la kuba kahelaro.

Relativaj kvantoj de ĉeloj laŭ pozicioj en kuba kahelaro estas 1, 4, 4, 1 por pozicioj (0), (1), (2), (3) respektive. Tamen, ĉiu vertico povas esti najbara al diversa kvanto de ĉeloj de en diversaj pozicioj.

Kahelaro Indeksoj Figuro de Coxeter-Dynkin
Simbolo de Schläfli
Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico laŭ pozicioj en kuba kahelaro Solidoj (parta) Perspektiva vida Vertica figuro
(0) (1) (2) (3)
Kuba kahelaro J11,15
A1
W1
G22
       
t0{4,3,4}
8 kuboj (4.4.4)
 
     
Okedro
Rektigita kuba kahelaro J12,32
A15
W14
G7
       
t1{4,3,4}
2 okedroj (3.3.3.3)
 
4 kubokedroj (3.4.3.4)
 
     
Paralelepipedo
Senpintigita kuba kahelaro J13
A14
W15
G8
       
t0,1{4,3,4}
1 okedro (3.3.3.3)
 
4 senpintigitaj kuboj (3.8.8)
 
     
Kvadrata piramido
Laterotranĉita kuba kahelaro J14
A17
W12
G9
       
t0,2{4,3,4}
1 kubokedro (3.4.3.4)
 
2 kuboj (4.4.4)
 
2 malgrandaj rombokub-okedroj (3.4.4.4)
 
     
Kojno
Edrotranĉita kuba kahelaro
(la sama kiel regula kuba kahelaro)
J11,15        
t0,3{4,3,4}
1 kubo (4.4.4)
 
3 kuboj (4.4.4)
 
3 kuboj (4.4.4)
 
1 kubo (4.4.4)
 
     
okedro
Dutranĉita kuba kahelaro J16
A3
W2
G28
       
t1,2{4,3,4}
2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)
 
2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)
 
     
Izocela kvaredro
Rektigitotranĉita kuba kahelaro J17
A18
W13
G25
       
t0,1,2{4,3,4}
1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
1 kubo (4.4.4)
 
2 grandaj rombokub-okedroj (4.6.8)
 
   
Neregula kvaredro
Edroverticotranĉita kuba kahelaro J18
A19
W19
G20
       
t0,1,3{4,3,4}
1 malgranda rombokub-okedro (3.4.4.4)
 
1 kubo (4.4.4)
 
2 oklateraj prismoj (4.4.8)
 
1 senpintigita kubo (3.8.8)
 
     
Oblikva trapeza piramido
Entutotranĉita kuba kahelaro J19
A22
W18
G27
       
t0,1,2,3{4,3,4}
1 granda rombokub-okedro (4.6.8)
 
1 oklatera prismo (4.4.8)
 
1 oklatera prismo (4.4.8)
 
1 granda rombokub-okedro (4.6.8)
 
     
Malregula kvaredro
Kvaredro-okedra kahelaro
(alternita kuba kahelaro)
J21,31,51
A2
W9
G1
       
h0{4,3,4}
6 okedroj (3.3.3.3)
 
8 kvaredroj (3.3.3)
 
     
Kubokedro

S4, h[4,3,4] grupoRedakti

La S4 grupo donas 11 derivajn formoj per tranĉaj operacioj, el ili 4 estas novaj unuformaj kahelaroj.

Verticoj estas indeksataj kiel 0,1,0',3 kaj 0' estas interŝanĝebla 0.

Kahelaro Indeksoj Figuro de Coxeter-Dynkin Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico laŭ pozicioj en alternita kuba kahelaro Solidoj (parta) Perspektiva vida Vertica figuro
(0) (1) (0') (3)
Kvaredro-okedra kahelaro (alternita kuba kahelaro) J21,31,51
A2
W9
G1
       6 okedroj (3.3.3.3)
 
8 kvaredroj (3.3.3)
 
     
Kubokedro
Senpintigita alternita kuba kahelaro J22,34
A21
W17
G10
       1 kubokedro (3.4.3.4)
 
2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)
 
2 senpintigitaj kvaredroj (3.6.6)
 
     
Rektigita kuba kahelaro
(rektigita alternita kuba kahelaro)
J12,32
A15
W14
G7
       2 kubokedroj (3.4.3.4)
 
2 kubokedroj (3.4.3.4)
 
2 okedroj (3.3.3.3)
 
     
Paralelepipedo
Rektigita kuba kahelaro
(laterotranĉita alternita kuba kahelaro ???)
J12,32
A15
W14
G7
       1 okedro (3.3.3.3)
 
1 okedro (3.3.3.3)
 
4 kubokedroj (3.4.3.4)
 
     
Paralelepipedo
Dutranĉita kuba kahelaro
(rektigitotranĉita alternita kuba kahelaro ???)
J16
A3
W2
G28
       1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)
 
     
Izocela kvaredro
Senpintigita kuba kahelaro
(dulaterotranĉita alternita kuba kahelaro ???)
J13
A14
W15
G8
       2 senpintigitaj kuboj (3.8.8)
 
2 senpintigitaj kuboj (3.8.8)
 
1 okedro (3.3.3.3)
 
     
Kvadrata piramido
Kuba kahelaro
(trirektigita alternita kuba kahelaro ???)
J11,15
A1
W1
G22
       4 kuboj (4.4.4)
 
4 kuboj (4.4.4)
 
     
Okedro
Alterne edrotranĉita kuba kahelaro J23
A16
W11
G5
       1 kubo (4.4.4)
 
3 malgrandaj rombokub-okedroj (3.4.4.4)
 
1 kvaredro (3.3.3)
 
     
Laterotranĉita kuba kahelaro
(edrolaterotranĉita alternita kuba kahelaro ???)
J14
A17
W12
G9
       1 malgranda rombokub-okedro (3.4.4.4)
 
2 kuboj (4.4.4)
 
1 malgranda rombokub-okedro (3.4.4.4)
 
1 kubokedro (3.4.3.4)
 
     
Kojno
Alterne edroverticotranĉita kuba kahelaro J24
A20
W16
G21
       1 senpintigita kubo (3.8.8)
 
2 grandaj rombokub-okedroj (4.6.8)
 
1 senpintigita kvaredro (3.6.6)
 
     
Rektigitotranĉita kuba kahelaro
(entutotranĉita alternita kuba kahelaro ???)
J17
A18
W13
G25
       1 granda rombokub-okedro (4.6.8)
 
1 kubo (4.4.4)
 
1 granda rombokub-okedro (4.6.8)
 
1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
   
Malregula kvaredro

P4 grupoRedakti

Estas 5 formoj de la grupo P4, nur la kvarona kuba kahelaro estas nova.

Kahelaro Indeksoj Figuro de Coxeter-Dynkin
Simbolo de Schläfli
Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico laŭ pozicioj Solidoj (parta) Perspektiva vida Vertica figuro
(0) (1) (2) (3)
Kvaredro-okedra kahelaro
(alternita kuba kahelaro)
J21,31,51
A2
W9
G1
       
h0{4,3,4}
4 kvaredroj (3.3.3)
 
6 okedroj (3.3.3.3)
 
4 kvaredroj (3.3.3)
 
     
Kubokedro
Rektigita kuba kahelaro J12,32
A15
W14
G7
  2 kubokedroj (3.4.3.4)
 
1 okedroj (3.3.3.3)
 
2 kubokedroj (3.4.3.4)
 
1 okedroj (3.3.3.3)
 
     
Paralelepipedo
Kvarona kuba kahelaro J25,33
A13
W10
G6
  1 kvaredro (3.3.3)
 
1 kvaredro (3.3.3)
 
3 senpintigitaj kvaredroj (3.6.6)
 
3 senpintigitaj kvaredroj (3.6.6)
 
     
Senpintigita alternita kuba kahelaro J22,34
A21
W17
G10
  1 senpintigita kvaredro (3.6.6)
 
1 kubokedro (3.4.3.4)
 
1 senpintigita kvaredro (3.6.6)
 
2 senpintigitaj okedroj (4.6.6)
 
     
Dutranĉita kuba kahelaro J16
A3
W2
G28
  1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
1 senpintigita okedro (4.6.6)
 
     
Izocela kvaredro

Prismaj kolonojRedakti

11 prismaj kahelaroj estas konstruataj per kolonigo de la 11 unuformaj ebenaj kahelaroj, kreante paralelajn tavolojn de prismoj. Unu el ĉi tiuj kahelaroj estas la kuba kahelaro, listigita pli supre. La vertica figuro de ĉiuj la 10 novaj kahelaroj estas malregula dupiramido kies edroj estas izocelaj trianguloj.

Noto ke nomo de ĉi tia kahelaro "prismigita riproĉa seslatera kahelaro" estas pli bona ol iam uzata nomo "riproĉa seslatera prisma kahelaro", ĉar komence de seslatera kahelaro unue ĝi estas riproĉigita kaj nur poste el ĝi estas farataj prismoj. Sed la dua nomo signifas ke seslateraj prismoj estas riproĉigitaj, kio ne estas la vero.

La R3xW2, [4,4] x [∞], prisma grupoRedakti

Estas nur 3 unikaj kahelaroj de la kvadrata kahelaro, sed ĉiuj 6 kahelaraj tranĉoj estas listitaj ĉi tie por pleneco, kaj kahelaraj bildoj estas montrita kun koloroj respektivaj al ĉiu formo.

Kahelaro Indeksoj Figuro de Coxeter-Dynkin
Simbolo de Schläfli
Fonta ebena kahelaro Bildo de fonta ebena kahelaro Solidoj (parta)
Kuba kahelaro
(kvadrata prisma kahelaro)
J11,15
A1
G22
         
{4,4} x {∞}
Kvadrata kahelaro (4.4.4.4)    
Prismigita senpintigita kvadrata kahelaro
(dutranĉita kvadrata prisma kahelaro)
J45
A6
G24
         
t0,1{4,4} x {∞}
Senpintigita kvadrata kahelaro (4.8.8)    
Kuba kahelaro
(Rektigita kvadrata prisma kahelaro)
J11,15
A1
G22
         
t1{4,4} x {∞}
Kvadrata kahelaro (4.4.4.4)
(rektigita kvadrata kahelaro)
   
Kuba kahelaro
(laterotranĉita kvadrata prisma kahelaro)
J11,15
A1
G22
         
t0,2{4,4} x {∞}
Kvadrata kahelaro (4.4.4.4)
(laterotranĉita kvadrata kahelaro)
   
Prismigita senpintigita kvadrata kahelaro
(prismigita entutotranĉita kvadrata kahelaro)
J45
A6
G24
         
t0,1,2{4,4} x {∞}
Senpintigita kvadrata kahelaro (4.8.8)
(entutotranĉita kvadrata kahelaro)
   
Prismigita riproĉa kvadrata kahelaro J44
A11
G14
         
s{4,4} x {∞}
Riproĉa kvadrata kahelaro (3.3.4.3.4)    

La V3xW2, [6,3] x [∞] prisma grupoRedakti

Kahelaro Indeksoj Figuro de Coxeter-Dynkin
Simbolo de Schläfli
Fonta ebena kahelaro Bildo de fonta ebena kahelaro Solidoj (parta)
Seslatera prisma kahelaro J42
A5
G26
         
t0{6,3} x {∞}
Seslatera kahelaro (6.6.6)    
Prismigita senpintigita seslatera kahelaro J46
A7
G19
         
t0,1{6,3} x {∞}
Senpintigita seslatera kahelaro (3.12.12)    
Tri-seslatera prisma kahelaro J43
A8
G18
         
t1{6,3} x {∞}
(3.6.3.6)    
Prismigita senpintigita triangula kahelaro
(seslatera prisma kahelaro)
J42
A5
G26
         
t1,2{6,3} x {∞}
Seslatera kahelaro (6.6.6)
(senpintigita triangula kahelaro)
   
Triangula prisma kahelaro J41
A4
G11
         
t2{6,3} x {∞}
Triangula kahelaro (3.3.3)    
Malgranda rombo-tri-seslatera prisma kahelaro J47
A9
G16
         
t0,2{6,3} x {∞}
Malgranda rombo-tri-seslatera kahelaro (3.4.6.4)    
Prismigita entutotranĉita seslatera kahelaro
(granda rombo-tri-seslatera prisma kahelaro)
J49
A10
G23
         
t0,1,2{6,3} x {∞}
Granda rombo-tri-seslatera kahelaro (4.6.12)    
Prismigita riproĉa seslatera kahelaro J48
A12
G17
         
s{6,3} x {∞}
Riproĉa seslatera kahelaro (3.3.3.3.6)    

Plilongigita formo de la triangula (ebena) kahelaroRedakti

Kahelaro Indeksoj Figuro de Coxeter-Dynkin
Simbolo de Schläfli
Fonta ebena kahelaro Bildo de fonta ebena kahelaro Solidoj (parta)
Plilongigita triangula prisma kahelaro J65
A11'
G13
{3,6}:e x {∞} Plilongigita triangula kahelaro (3.3.3.4.4)    

Turnitaj kaj plilongigitaj formojRedakti

Ĉiu el tri novaj unuformaj kahelaroj estas generitaj per disigo de iu el la pli supre listigitaj kahelaroj tie kie ĝiaj edroj formas kontinuan ebenon, kaj turno de alternaj tavoloj je 60 aŭ 90 gradoj (turno) aŭ enigo de tavolo de prismoj (plilongigo).

La plilongigita alternita kuba kahelaro kaj turnoplilongigita alternita kuba kahelaro havas la saman vertican figuron, sed ne estas egalaj. En la plilongigita formo, ĉiu prismo tuŝas kvaredron je unu triangula bazo kaj okedron je la alia. En la turnoplilongigita formo, prismoj kiuj tuŝas kvaredrojn je ambaŭ bazoj alternas kun prismoj kiuj tuŝas okedrojn je ambaŭ bazoj.

La turnoplilongigita triangula prisma kahelaro havas la sama vertican figuron kiel unu el la ebenaj prismaj kahelaroj; la du povas esti derivitaj de la turnita triangula prisma kahelaro kaj ebena triangula prisma kahelaro respektive, per enigo de tavoloj de kuboj.

Kahelaro Indeksoj Simbolo Kvantoj de ĉeloj ĉirkaŭ ĉiu vertico Solidoj (parta) Perspektiva vida Vertica figuro
Turnita alternita kuba kahelaro J52
A2'
G2
h{4,3,4}:g kvaredro (8)
okedro (6)
     
Turnoplilongigita alternita kuba kahelaro J61
A?
G3
h{4,3,4}:ge triangula prismo (6)
kvaredro (4)
okedro (3)
     
Plilongigita alternita kuba kahelaro J62
A?
G4
h{4,3,4}:e triangula prismo (6)
kvaredro (4)
okedro (3)
     
Turnita triangula prisma kahelaro J63
A?
G12
{3,6}:g x {∞} triangula prismo (12)      
Turnoplilongigita triangula prisma kahelaro J64
A?
G15
{3,6}:ge x {∞} triangula prismo (6)
kubo (4)
     

UzojRedakti

Ĉiuj 28 el ĉi tiuj kahelaroj estas trovitaj en kristalaj ordigoj.

La kvaredra-okedra kahelaro (alternita kuba kahelaro) estas speciale grava pro tio ke ĝiaj verticoj formas kuban proksiman pakon de sferoj.

Vidu ankaŭRedakti

Eksteraj ligilojRedakti