Divizora funkcio

En nombroteorio, la divizora funkcio estas aritmetika funkcio rilata al divizoroj de entjero.

Divizora funkcio σ₀(n) por n≤250

Divizora funkcio σ₁(n) por n≤250

Sumo de la kvadratoj de divizoroj, σ₂(n) por n≤250

Sumo de kuboj de divizoroj, σ₃(n) por n≤250

Difino

La funkcio, kiu prezentas sumon de pozitivaj divizoroj σ_x(n) estas difinita kiel la sumo de la x-aj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de n, aŭ

$\sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!.$

La notacia stilo d(n) kaj τ(n) (la funkcio τ) estas uzata ankaŭ por σ₀(n), t.e. la kvanto de divizoroj de n. Se x estas 1, la funkcio estas identa al la funkcio σ, kaj la suba indico estas ofte neskribata, do σ(n) estas ekvivalenta al σ₁(n).

La obla suma funkcio estas sumo de la propraj divizoroj (tio estas, la divizoroj malinkluzivante n mem), estas s(n)=σ₁(n)-n; la obla vico de n estas formita per multfoja aplika de la obla suma funkcio.

Ekzemplo

Ekzemple, σ₀(12) estas la kvanto de la divizoroj de 12:

σ₀(12)=1⁰+2⁰+3⁰+4⁰+6⁰+12⁰=1+1+1+1+1+1=6

kaj σ₁(12) estas la sumo de ĉiuj divizoroj:

σ₁(12)=1¹+2¹+3¹+4¹+6¹+12¹=1+2+3+4+6+12=28

Ecoj

Por primo p:

d(p)=2

d(pⁿ)=n+1

σ(p)=p+1

Por ĉiu n>2:

1<d(n)<n

σ(n)>n

La divizora funkcio estas multiplika funkcio, sed ne plene multiplika funkcio. La konsekvenco de ĉi tio estas tiu ke, se

$n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}$

kie $r=\omega (n)$ estas la kvanto de diversaj primaj faktoroj de n, p_i estas la i-a prima faktoro, kaj a_i estas la maksimuma povo de p_i per kiu n estas dividebla, do

$\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}$

kiu estas ekvivalento al la utila formulo:

$\sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+...+p_{i}^{a_{i}x})$

Ekvacio por kalkulo de d(n) estas

$d(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1)$

Ekzemple, se n estas 24, estas du primaj faktoroj (p₁ estas 2; p₂ estas 3); 24 estas produto de 2³×3¹, a₁ estas 3 kaj a₂ estas 1. Do d(24) estas:

$d(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\times 2=8.$

(la ok divizoroj estas 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, kaj 24).

Funkcio de sumo de la propraj divizoroj s(n) estas la uzata por difini perfektajn nombrojn, por kiu s(n)=n. Se s(n)>n do n estas abunda nombro kaj se s(n)<n do n estas manka nombro.

En 1984, Roger Heath-Brown pruvis ke

d(n)=d(n+1)

okazas malfinie ofte.

Seria elvolvaĵo

La divizora funkcio povas esti skribita kiel finia trigonometria serio

$\sigma _{x}(n)=\sum _{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum _{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}$

sen eksplicita referenco al la divizoroj de n.

Seriaj rilatoj

Du serioj de Dirichlet engaĝantaj la divizoran funkcion estas:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)$

kaj

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}$

Serio de Lambert engaĝanta la divizoran funkcion estas:

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}$

por ajna kompleksa nombro |q|≤1 kaj a. Ĉi tiu sumado ankaŭ aspektas kiel la serio de Fourier de la serio de Eisenstein kaj la invariantoj de la elipsa funkcio de Weierstrass.

Asimptota kreskado

En malgranda o skribmaniero, la divizora funkcio plenumas la jenan neegalaĵon:

${\mbox{por cxiu }}\epsilon >0,d(n)=o(n^{\epsilon }).$

En granda O skribmaniero, Dirichlet montris ke la averaĝa ordo de la divizora funkcio kontentigas jenan neegalaĵon

${\mbox{por cxiu }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),$

kie $\gamma$ estas konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Plibonigo de la baro $O({\sqrt {x}})$ en ĉi tiu formulo estas konata kiel la divizora problemo de Dirichlet

La konduto de la σ funkcio estas malregula. La kreska kurzo de la σ funkcio povas esti esprimita kiel:

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.$

kie limsup estas la limigo supera. Ĉi tiu rezulto estas teoremo de Thomas Hakon Grönwall, publikigita en 1913.

En 1984 Guy Robin pruvis ke

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$ por n>5040

estas vera se kaj nur se la rimana hipotezo estas vera. La plej granda sciata valoro kiu malverigas la neegalaĵon estas n=5040. Se la rimana hipotezo estas vera, ne estas pli grandaj esceptoj. Se la hipotezo estas malvera tiam estas malfinia kvanto da valoroj n tiaj por kiu la neegalaĵo estas malvera.

Rilatanta baro estis donita de Jeffrey Lagarias en 2002, kiu pruvis ke la rimana hipotezo estas ekvivalento al la frazo ke

$\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}$

por ĉiu natura nombro n, kie $H_{n}$ estas la n-a harmona nombro.

Vidu ankaŭ

• Eŭlera φ funkcio
• Rimana ζ funkcio

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Divisor function en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Robin's theorem en MathWorld.