Algebra strukturo

En moderna matematiko, "algebra strukturo" estas loze difinita termino signifanta la matematikajn objektojn tradicie studatajn en la kampo de abstrakta algebro: aroj kun operacioj.

En universala algebro, oni studas algebrajn strukturojn konsistantajn el aro kaj kolekto da operacioj difinitaj sur la aro, por kiuj validas certaj identoj.

La vorto "strukturo" povas signifi kaj specifan matematikan objekton, kaj pli abstraktan koncepton. Ekzemple, la monstra grupo samtempe estas algebra strukturo, kaj ĝi havas algebran strukturon: la strukturon komunan al ĉiuj grupoj. Ĉi tiu artikolo uzas ambaŭ sencojn de la termino.

Strukturoj, kies aksiomoj ĉiuj estas identecoj

Ĉiuj aksiomoj de strukturoj en ĉi tio sekcio estas identecoj, aŭ egalaĵoj, kiel ekzemple la eco de adicio, ke a+b = b+a por ĉiuj a kaj b.

Simplaj strukturoj: Neniu duuma operacio:

• Aro: degenera algebra strukturo, havanta nul operaciojn difinitajn sur ĝi
• Punktita aro: aro S kun (invarianta, memkonjugita, normala) ero s de S
• Transforma sistemo: aro S kun transformo, t.e. funkcio S → S
• Punktita unuloka sistemo: unuloka sistemo kun normala ero (tiaj objektoj okazas en diskutoj de la aksiomoj de Peano)

Grupoecaj strukturoj: Unu duuma operacio

• Magmo aŭ grupoido: aro kun sola operacio (matematiko)
• Kvazaŭgrupo: magmo en kiu la operacio (matematiko) ĉiam havas inverson
  • Lopo: kvazaŭgrupo kun neŭtrala elemento
• Semigrupo: asocia magmo
  • Monoido: semigrupo kun neŭtrala elemento
    • Grupo: monoido en kiu ĉiu ero havas inverson, aŭ ekvivalente, asocieca ciklo
  • Komuta grupo: komuta grupo

Ringoecaj strukturoj: Du duumaj operacioj

• Semiringo: aro kiu formas semigrupon sub du malsamaj duargumentaj operacioj, kie unu el ili ("adicio") estas komuta kaj la dua estas distribua rilate ĝin. Ĉi tiu estas la sama kiel ringo, sed sen adiciaj inversoj.
  • Ringo: aro kun komuta grupa operacio ("adicio"), kaj kun alia semigrupa operacio ("multipliko"), ligitaj per distribueco.
    • Rng: ringo sen multiplika idento.
    • Komuta ringo: ringo kies multipliko estas komuta
  • Algebro de Kleene: kvadrategala duonringo kun aldona unuloka operatoro (la Stelo de Kleene); ĉi tiuj estas modelitaj sur regulesprimoj

Moduloj: Sistemoj difinitaj super du aroj, M kaj R:

• Modulo super ringo R: aro kun adicia komuta grupa operacio, kaj ankaŭ unuvalenta operacio de skalara multipliko por ĉiu elemento de R, kun asocia kondiĉo liganta skalaran multiplikon kun multipliko en R
• Vektora spaco: modulo (modela teorio) super kampo (vidu pli sube por kampoj)

Alĝebroj

• Alĝebro super kampo: modulo aŭ vektora spaco kaj ankaŭ dulineara operatoro kiel multipliko
• Asocieca alĝebro: alĝebro kies multipliko estas asocieca
• Komuta alĝebro: asocieca alĝebro, kies multipliko estas komuta
• Alĝebro de Lie: ne-asocieca alĝebro grava en geometrio

Latisoj

• latiso: aro kun du komutaj, asociecaj, idempotentaj operacioj, kontentigantaj la sorbajn identaĵojn
• Bulea algebro: distribueca, komplementa latiso

Strukturoj kun aksiomoj, kiuj ne estas identecoj

La strukturoj en ĉi sekcio ne estas variaĵoj, ĉar ili ne eblas aksiomigi ili sole per identecoj.

Unu ampleksigo de la koncepto de algebra strukturo estas studi arojn kun operacioj, kiuj devas kontentigi aksiomoj escepte identoj.

La pli supraj strukturoj estas ĉiuj formalaj sistemoj, ili konsistas pure el difinoj kaj ne metas iujn ajn limigajn kondiĉojn sur la strukturojn. En la difino de kampo pli sube estas la limiga kondiĉo 0 (la adicia idento) ≠ 1 (la multiplika idento. Por ke tiu estu pure formala strukturo neniu tia kondiĉo devus lokiĝi. Tamen, se 0=1 tiam la strukturo kolapsas. De ĉi tie, necesa limigo (, ke, kiu) 0 ≠ 1 bezonas lokiĝi por certigi, ke ni havos utilan matematikan eternecon. Kvankam ĉi tiuj strukturoj sendube havas algebran gustigi, ili suferas de difektoj ne trovitaj en universala algebro. Ekzemple, ne ekzistas produto de du integrecaj ringoj, nek libera kampo super iu ajn aro.

• Integreca ringo: ringo kun 0 ≠ 1, kiu havas neniujn nuldivizorojn escepte 0
• Korpo: integreca ringo kun inversa operacio (la inversa operacio estas ne difinita por la nulo)
• Kampo: komuta korpo
• Artinian-ringo: ringo kiu kontentigas la descendantan ĉenan kondiĉon sur idealoj.

Aritmetikaĵoj

Kamp-similaj strukturoj

Kombinitaj sistemoj: vektoraj spacoj kaj alĝebroj super kampoj

Tri duumaj operacioj

Kvar duumaj operacioj

Kombinitaj sistemoj

multliniaraj algebroj

Ekzemploj

• La (ne-nulo) naturaj nombroj kun aldono (+) estas magmo.
• La nenegativaj entjeroj sub aldono estas magmo kun idento.
• La entjeroj Z kun subtraho (−) formas kvazaŭgrupon.
• La nenulo racionaloj Q kun divido (÷) formas kvazaŭgrupon.

Grup-similaj strukturoj

• Ĉiu grupo estas ciklo, ĉar a * x = b se kaj nur se x = a⁻¹ * b, kaj y * a = b se kaj nur se y = b * a⁻¹.
• La entjeroj Z kun aldono (+) formas komutan grupon.
• La ne-nulo racionaloj Q kun multipliko (×) formas komutan grupon.
• Du per du matricoj kun multipliko ariĝi (ne komuta).
• Ĉiu cikla grupo G estas abela, ĉar se x, y estas en G, tiam _xy_ = a^maⁿ = a^{m + n} = a^{n + m} = aⁿa^m = _yx_. En aparta, la entjeroj Z formas komutan grupon sub adicio, kiel fari la entjeroj module n

Z/nZ.

• Pli da ekzemploj troviĝas en ekzemploj de grupoj.

Latisoj

Ring-similaj strukturoj

• La naturaj nombroj (inkluzive nulon), kun la ordinara adicii kaj multipliko estas komuta duonringo.
• La aro R[X] de ĉiuj polinomoj super iu koeficienta ringo R formas ringon.
• Du per du matricoj kun aldono kaj multipliko formas ringon (ne komutan).
• Finia ringo: Se n estas pozitiva entjero, tiam la aro Z_n = Z/nZ de entjeroj module n (kiel adicia grupo la cikla grupo de ordo n ) formas ringon kun n eroj (vidu artikolon modula aritmetiko).

Integrecaj ringoj

• La entjeroj kun la du operacioj de aldono kaj multipliko formas integrecan ringon.
• La p-adic-aj entjeroj.

Kampoj

• La racionalaj nombroj kun adicio kaj multipliko formas kampon.
• La reelaj nombroj R, sub la kutimaj operacioj adicio kaj multipliko.
  • La reelaj nombroj enhavas kelkajn interesajn subkorpojn: la reelaj algebraj nombroj, la komputeblaj nombroj, kaj la difineblaj nombroj.
• Kiam la reelaj nombroj estas donitaj la kutima (ordenanta, mendanta, ordanta, dimensianta, komandanta, ordigo) ili formas plenumi ordita kampo kiu estas kategoria — ĝi estas ĉi tiun strukturon kiu provizas la fundamenton por plej formalaj traktoj de kalkulo.
• La kompleksaj nombroj C, sub la kutimaj operacioj adicio kaj multipliko.
• Algebra nombra kampo estas finia kampa vastigaĵo de la racionalaj nombroj Q, tio estas, kampo enhavanta Q kiu havas finian dimension kiel vektora spaco super Q. Tiaj kampoj estas tre gravaj en nombroteorio.
• Se q > 1 estas povo de primo, tiam ekzistas (ĝis izomorfio) precize unu finia kampo kun q elementoj: F_q, Z/qZ, aŭ GF(q). Ĉiu alia finia kampo estas izomorfia al unu el ĉi tiuj kampoj. Tiajn kampojn oni ofte nomas kampoj de Galois, ek kio fontas la notacio GF(q) [pro la anglalingva Galois Field].
  • Donite primon p, la aro de entjeroj module p estas finia kampo kun p eroj: F_p = {0, 1, …, p − 1} kie la operacioj estas difinitaj per plenumado de la operacio en Z, dividanta per p kaj prenante la reston; vidu artikolon modula aritmetiko.

Permesado de aldona strukturo

Algebraj strukturoj povas ankaŭ esti difinitaj sur aroj kun aldona ne-algebra strukturo, kiel topologia spaco. La algebra strukturo estas postulita esti iel kongrua kun la aldona strukturo.

• Ordita grupo: grupo kun kongrua parta ordo
• Lineare ordita grupo: grupo kun kongrua lineara ordo
• Arĥimeda grupo: lineare ordita grupo por kiu validas la Arĥimeda eco
• Topologia grupo: grupo kun kongrua topologio
• Grupo de Lie: grupo kun kongrua sternaĵa strukturo
• Gradita algebro: algebro kun "gradoj"
• Clifford-algebro: asocieca algebro difinita per kvadrata formo sur vektora spaco
• Topologia vektora spaco: vektora spaco kun kongrua topologio

Teorio de kategorioj

Ĉiu algebra strukturo havas sian propran nocion de homomorfio, nome funkcio, kiu estas kongrua kun la operacio(j) difinanta(j) la strukturon. Tiamaniere, ĉiu algebra strukturo difinas kategorion.

Ekzemple, la kategorio de grupoj havas ĉiujn grupojn kiel objektojn kaj ĉiujn grupajn homomorfiojn kiel strukturkonservantajn transformojn. Ĉi tiu konkreta kategorio povas esti konsideratata kiel kategorio de aroj kun aldonita strukturo en la kategorio-teoria senco. Simile, la kategorio de topologiaj grupoj (kun kontinuaj grupaj homomorfioj kiel strukturkonservantaj transformoj) estas kategorio de topologiaj spacoj kun superflua strukturo.

Ekzistas diversaj konceptoj en la teorio de kategorioj kiuj provas enkapti la algebran karakteron de kunteksto, ekzemple

• algebreca
• esence algebreca
• prezentebla
• loke prezentebla
• universala propraĵo

Vidu ankaŭ

• Abstrakta algebro
• Teorio de kategorioj
• Libera objekto
• Listo de algebraj strukturoj
• Listo de unuaordaj teorioj
• Universala algebro
• Diversaĵo (universala algebro)

Referencoj

• Garrett Birkhoff kaj Saunders MacLane, 1999 (1967). Algebra, 2nd ed. Chelsea.
• Michel, Anthony N., kaj Herget, Charles J., 1993 (1981). Applied Algebra and Functional Analysis. Dover.

Monografo senpage havebla perrete:

• Burris, Stanley N., kaj H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

Teorio de kategorioj:

• Mac Lane, Saunders (1998) Categories for the Working Mathematician. 2nd ed. (Graduate Texts in Mathematics 5). Springer-Verlag.
• Taylor, Paul, 1999. Practical Foundations of Mathematics. Cambridge University Press.

Eksteraj ligiloj

• Jipsen's algebra structures. Arkivigite je 2007-07-04 per la retarkivo Wayback Machine
• Planet Math. Arkivigite je 2007-11-13 per la retarkivo Wayback Machine