Simetrio

(Alidirektita el Simetria)

Simetrio (el la greka συμμετρία symmetria "interkonsento en dimensioj, taŭga proporcio, aranĝo")[1] en ĉiutaga lingvaĵo referencas al sento de harmonio kaj belaj proporcio kaj ekvilibro.[2][3] Por ekzemplo, Aristotelo atribuis sferan formon al ĉielaj korpoj, kaj same atribuis tiun formale difinitan geometrian mezuron de simetrio al la natura ordo kaj perfekteco de la kosmo. En matematiko, "simetrio" havas pli precizan difinon, ke objekto estas nevarianta al ajna de variaj transformoj; inklude reflekton, rotacion aŭ skalŝanĝon. Kvankam tiuj du signifoj de "simetrio" povas foje esti apartigitaj, ili estas rilataj.

Simetrio kaj nesimetrio.
Sfera simetria grupo kun okedra simetrio. La flava areo montras la fundamentan kernon.
La Vitruvia homo de Leonardo da Vinci (ĉ. 1487) estas ofte uzata kiel reprezento de simetrio en la homa korpo kaj, laŭ etendo, de la tute natura universo.
Fraktaleca formo kiu havas reflektan simetrion, rotacian simetrion kaj mem-similecon, nome tri formoj de simetrio. Tiu formo estis akirita per fina subdividado.
Simetriaj arkadoj de portiko en la Granda Moskeo de Kajruano nomita ankaŭ Moskeo de Ukba, en Tunizio.
La triskelo havas 3-aksan rotacian simetrion. Flago de la insulo Man.

Matematika simetrio povas estis observata rilate al la tempopaso; kiel spaca rilato; tra geometriaj transformoj; tra aliaj tipoj de funkciaj transformoj; kaj kiel aspekto de abstraktaj objektoj, teoriaj modeloj, lingvaĵo, muziko kaj eĉ sciaro mem.[4] Simetriaj objektoj povas esti materiaj, kiaj persono, kristalo, teksaĵoj, plankaj kaheloj, aŭ molekulo, aŭ ĝi povas esti abstrakta strukturo kia matematika ekvacio aŭ serio de notoj (muziko).

Tiu artikolo priskribas simetrion el tri vidpunktoj: en matematiko, inklude geometrion, nome la plej familiara tipo de simetrio por multaj personoj; en scienco kaj naturo; kaj en arto, kovrante arkitekturon, grafikan arton kaj muzikon.

Simetrio estas en la belaj artoj harmonia rilato inter la partoj kaj la tuto, kiu rezultas el proporcieco kaj regula aranĝo de tiuj partoj. Simetria estas objekto en matematiko, se ĉiu parto de tiu objekto post speguliĝo aŭ rotacio (ĉirkaŭ simetricentro) kongruas kun alia parto; alivorte, se la objekto post speguliĝo aŭ rotacio kongruas kun si mem.

La malo de simetrio estas nesimetrio[5] aŭ malsimetrio[6]

En matematiko

redakti

En geometrio

redakti

Geometria formo aŭ objekto estas simetria se ĝi povas esti dividita en du aŭ pliaj identaj pecoj kiuj estas aranĝitaj laŭ organizita maniero.[7] Tio signifas, ke objekto estas simetria se estas transformado kiu movas unuopajn pecojn de la objekto, sed tio ne ŝanĝas la ĝeneralan formon. La tipo de simetrio estas determinita per la maniero kiel la pecoj estas organizataj, aŭ per la tipo de transformado:

  • Objekto havas reflektan simetrion (linia aŭ spegula simetrio) se estas linio (aŭ en 3D ebenaĵo) iranta tra ĝi kiu dividas ĝin en du pecoj kiuj estas spegulaj figuroj unu de la alia.[8]
  • Objekto havas rotacian simetrion se la objekto povas esti rotaciata ĉirkaŭ fiksa punkto (aŭ en 3D ĉirkaŭ linio) sen ŝanĝi la ĝeneralan formon.[9]
  • Objekto havas translacian simetrion se ĝi povas esti translaciita (movante ĉiun punkton de la objekto je la sama distanco) sen ŝanĝi ĝian ĝeneralan formon.[10]
  • Objekto havas helican simetrion se ĝi povas esti samtempe translaciita kaj rotaciita en tridimensia spaco laŭlonge de linio konata kiel "ŝraŭba akso".[11]
  • Objekto havas skalan simetrion se ĝi ne ŝanĝas formon kiam ĝi ekspansias aŭ malekspansias.[12] Ankaŭ fraktaloj montras formon de skala simetrio, en kiu pli malgrandaj partoj de la fraktalo estas similaj laŭ formo al pli grandaj partoj.[13]
  • Aliaj simetrioj estas "glitoreflekta" simetrio (nome reflekto sekvita de translacio) kaj "nepropre rotacia" aŭ "rotoreflekta" simetrio (nome kombinado de rotacio kaj reflekto[14]).

En logiko

redakti

Duflanka rilato R = S × S estas simetria se por ĉiuj elementoj a, b en S, ĉiam kiam veras, ke Rab, veras ankaŭ, ke Rba.[15] Tiel, la rilato "estas samaĝa kiel" estas simetria, ĉar se Paul estas samaĝa kiel Mary, tiam Mary estas samaĝa kiel Paul.

En propozicia logiko, simetriaj duflankaj logikaj konektiloj estas kaj (∧, aŭ &), (∨, aŭ |) kaj se kaj nur se (↔), dum la konektilo se (→) ne estas simetria.[16] Aliaj simetriaj logikaj konektiloj estas nekaj (ne plus kaj, aŭ ⊼), disaŭo (ne plus dukondiĉo, aŭ ⊻), kaj malaŭo (ne plus aŭ, aŭ ⊽ aŭ "neko").

Aliaj areoj de matematiko

redakti

Ĝeneraligante el geometria simetrio en antaŭ subĉapitro, oni povas diri, ke matematika objekto estas simetria rilate al difinita matematika operacio, sed, aplikita al la objekto, tiu operacio konservas ioman proprecon de la objekto.[17] La serio de operacioj kiuj konservas difinitan proprecon de objekto formas grupon.

Ĝenerale, ĉiu tipo de strukturo en matematiko havos sian propran tipon de simetrio. Ekzemploj estas pareco de funkcioj en kalkulo, simetriaj grupoj en abstrakta algebro, simetriaj matricoj en lineara algebro, kaj Galojaj grupoj en galoja teorio. En statistiko, simetrio manifestiĝas ankaŭ kiel simetriaj probablec-distribuoj, kaj kiel statistika asimetrio — asimetrio de distribuoj.[18]

En scienco kaj naturo

redakti

En fiziko

redakti

Simetrio en fiziko estis ĝeneraligita por signifi "nevariecon" — kio estas, manko de ŝanĝo — sub ĉiu tipo de transformado, por ekzemplo arbitraj kunordigaj transformadoj.[19] Tiu koncepto iĝis unu el la plej povaj iloj de teoria fiziko, ĉar evidentiĝis ke praktike ĉiuj leĝoj de naturo originiĝis en simetrioj. Fakte, tiu rolo inspiris la Nobel-premiito Philip Warren Anderson verki en sia amplekse legita artikolo de 1972 nome More is Different (Pli diferencas) ke "estas nur iom troigita la afero por diri, ke fiziko estas la studo de simetrio."[20] Vidu ekzemple la teoremon de Noether (kiu, laŭ ege simpligita formo, asertas, ke ĉiu kontinua matematika simetrio, estas koresponda konservita kvanto kiel energio aŭ momanto; konservita kurento, en la originala parolmaniero de Noether);[21] kaj ankaŭ, la klasigon de Eugene Paul Wigner, kiu diras, ke la simetrioj de la leĝoj de fiziko determinas la proprecojn de la partikloj trovitaj en naturo.[22]

Gravaj simetrioj en fiziko estas kontinuaj simetrioj kaj diskretaj simetrioj de spactempo; internaj simetrioj de partikloj; kaj supersimetrio de fizikaj teorioj.

En biologio

redakti
 
Multaj animaloj estas proksimume spegul-simetriaj, kvankam internaj organoj estas ofte aranĝitaj nesimetrie.

En biologio, la nocio de simetrio estas ĉefe uzata por priskribi korpoformojn. Duflankaj animalojn, inklude homojn, estas pli malpli simetriaj reference al la sagita ebenaĵo kiu dividas la korpon en maldekstra kaj dekstra duonoj.[23] Animaloj kiuj moviĝas en unu direkto necese havas suprajn kaj malsuprajn flankojn, kapon kaj vostopintojn, kaj tiele dekstran kaj maldekstran flankojn. La kapo iĝas specializita havante buŝon kaj sentorganojn, kaj la korpo iĝas duflanka simetria por la celo de movo, kun simetriaj paroj de muskoloj kaj skeletaj elementoj, kvankam internaj organoj ofte restas nesimetriaj.[24]

Plantoj kaj nemoveblaj (ligitaj) animaloj kiaj maranemonoj ofte havas radian aŭ rotacian simetrion, kiu taŭgas al ili ĉar manĝo aŭ minacoj povas alveni el ajna direkto. Kvinaksa simetrio troviĝas en ekinodermoj, nome la grupo kiu inkludas marstelojn, eĥinojn, kaj krinoidojn.[25]

En biologio, la nocio de simetrio estas uzata ankaŭ kiel en fiziko, tio estas por priskribi la proprecojn de la objektoj studitaj, inklude ties interagadojn. Rimarkinda propreco de biologia evoluo estas la ŝanĝoj de simetrio korespondaj al la apero de novaj partoj kaj dinamiko.[26][27]

En kemio

redakti

Simetrio estas grava por kemio ĉar ĝi subtenas esence ĉiujn specifajn interagojn inter molekuloj en naturo (t.e., tra la interagado de naturaj kaj homfaritaj ĥiralaj molekuloj kun esence ĥiralaj biologiaj sistemoj). La kontrolo de la molekula simetrio produktita en moderna kemia sintezo kontribuas al la kapablo de sciencistoj por proponi terapeŭtajn intervenojn kun minimumaj flankefikoj. Rigora kompreno de simetrio klarigas fundamentajn observojn en kvantuma kemio, kaj en aplikaj areoj de spektroskopio kaj kristalografio. La teorio kaj aplikado de simetrio al tiuj areoj de fizika scienco klare kuŝas sur la matematika areo de la grupo-teorio.[28]

En psikologio kaj neŭroscienco

redakti
  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Vidkapablo.
 
La Vitruvia homo de Leonardo da Vinci (ĉirkaŭ 1487) estas ofte uzata kiel reprezentado de simetrio en la homa korpo kaj pro etendo ankaŭ en la natura mondo.

Por homa observanto, kelkaj simetriaj tipoj estas pli evidentaj ol aliaj, precize la plej rimarkinda estas la reflekto je vertikala akso, kiel tiu kiu plej ofte aperas en la homa vizaĝo. Ernst Mach faris tiun observon en sia libro "The analysis of sensations" (La sentanalizo, 1897),[29] kaj tio implicas, ke la percepto de simetrio ne estas ĝenerala reago al ĉiuj tipoj de regulaĵoj. Kaj prikondutaj kaj neŭrofiziologiaj studoj estis konfirmintaj la specialan sensivecon al la reflekta simetrio ĉe homoj kaj ankaŭ ĉe aliaj animaloj.[30] Fruaj studoj ene de la Geŝtalta tradicio sugestis, ke duflanka simetrio estis unu el la ŝlosilaj faktoroj en percepta "grupigo". Tio estas konata kiel Leĝo de Simetrio. La rolo de simetrio en grupigo kaj la figur/grunda organizado estis konfirmita en multaj studoj. Por ekzemplo, la detektado de reflekta simetrio estas pli rapida kiam tiu estas propreco de unusola objekto.[31] Studoj pri homa percepto kaj psikofiziko montris, ke detektado de simetrio estas rapida, efika kaj fortika kontraŭ perturboj. Por ekzemplo, simetrio povas esti detektita per prezentadoj inter 100 kaj 150 milisekundoj.[32]

Pli ĵusaj neŭrobildaj studioj dokumentis tiujn kiuj estas la cerbaj regionoj kiuj estas aktivaj dum la percepto de simetrio. Sasaki et al.[33] uzis funkcian bildigan magnetan resonadon (fMRI) por kompari reagojn al modeloj kun simetriaj aŭ hazardaj punktoj. Forta aktiveco okazis en eksterstriaj regionoj de la okcipita kortekso sed ne en la unuaranga vid-kortekso. La eksterstriaj regionoj estas V3A, V4, V7, kaj la flanka okcipita komplekso (laŭ anglalingva nomo lateral occipital complex LOC). Elektrofiziologiaj studoj trovis finan malantaŭan negativecon kiu originiĝas el la samaj areoj.[34] Ĝenerale, granda parto de la vida sistemo ŝajnas esti okupita por la procezado de la vida simetrio, kaj tiuj areoj estas engaĝiĝintaj en retoj similaj al tiuj responsaj por detektin kaj rekoni objektojn.[35]

En socia interagado

redakti

Homoj observas la simetrian naturon, ofte inklude nesimetrian ekvilibron, de socia interagado en vario de kuntekstoj. Tiuj povas esti pritaksado de reciprokeco, empatio, simpatio, apologio, dialogo, respekto, justeco, kaj venĝo. Reflekta ekvilibro estas la ekvilibro kiu povas esti atingita pere de intenca reciproka alĝustigo inter ĝeneralaj principoj kaj specifaj juĝoj.[36] Simetria interagado elsendas la moralan mesaĝon "ni estas ĉiuj la samo" dum nesimetria interagado povas elsendi la mesagzon "Mi estas speciala; pli bona ol vi." Paraj rilatoj, tiaj kiuj povas esti regataj de ora regulo, estas bazataj sur simetrio, dum povaj rilatoj estas bazitaj sur nesimetrio.[37] Simetriaj rilatoj povas je ioma grado esti eltenita pere de simplaj (ludoteorio) strategioj vidataj en simetriaj ludoj.[38]

En arto

redakti
 
La tegmento de la Moskeo Lotfollah, Isfahano, Iranom havas 8-aksajn simetriojn.

En arkitekturo

redakti
 
Vidita deflanke, la Taĝ-Mahalo havas duflankan simetrion; el la pinto (laŭplane), ĝi havas kvaraksan simetrion.

Simetrio trovas siajn vojojn en arkitekturo je ĉiuj skaloj, el la ĝeneralaj eksteraj vidaĵoj de konstruaĵoj kiaj tipaj gotikaj katedraloj kaj la Blanka Domo, tra la plano de unuopaj planoj, kaj ĝis la desegnado de unuopaj konstruelementoj kiaj kahelaj mozaiko. Islamaj konstruaĵoj kiaj la Taĝ-Mahalo kaj la Moskeo Lotfollah faras prilaboritan uzadon de la simetrio kaj en sia strukturo kaj en sia ornamaĵaro.[39][40] Arabdevenaj konstruaĵoj kiel la Alhambro estas ornamitaj pere de komplikaj modeloj faritaj uzante transflankajn kaj reflektajn simetriojn same kiel rotaciojn.[41]

Oni diras, ke nur malbonaj arkitektoj fidas sur "simetriaj planoj de blokoj, amasoj kaj strukturoj";[42] Moderna arĥitekturo, starte el internacia stilo, fidas anstataŭe sur "aloj kaj ekvilibro de amasoj".[42]

En aplikartoj

redakti
 
Argilaj potoj produktitaj per potrado akiras rotacian simetrion.

Ekde la plej fruaj uzoj de pot-radoj por helpi formi argilajn ujojn, ceramiko havis fortan rilaton al simetrio. Ceramiko kreita uzante radon akiras plenan rotacian simetrion en sia kruc-sekcio, kvankam permesante substancan liberon de formo en la vertikala direkto. Ekde tiu denaska simetria startpunkto, ceramikistoj el antikvaj epokoj antaŭen aldonis modelojn kiuj modifis la rotacian simetrion por atingi vidajn celojn.

Al ujoj de fanditaj metalo mankas la denaska rotacia simetrio de la potrada ceramiko, sed aliflanke ili havigas similan oportunon por ricevi ornamadon en la surfacoj de modeloj kiuj plaĉas al tiuj kiuj uzas ilin. La antikvaj ĉinoj, por ekzemplo, uzis simetriajn modelojn en siaj bronzfandado tiom frue kiom je la 17-a jarcento a.n.e. Bronzaj ujoj montris kaj duflankan ĉefan motivon kaj ripetitan transigitan bordodesegnon.[43]

 
Persa tapiŝo kun ortangula simetrio.

Longa tradicio de la uzado de simetrio en tapiŝoj kaj aliaj matomodeloj laŭlonge de vario de kulturoj. Navahaj indiĝenoj de teritorioj de nuna Usono uzis buntajn diagonalajn kaj ortangulajn motivojn. Multaj tapiŝoj el Oriento havas interplektitajn reflektajn centrojn kaj bordojn kiuj transigas modelon. Ne surprize, ortangulaj tapiŝoj havas tipe la simetriojn de ortangulo — tio estas, motivoj kiuj estas reflektataj tra kaj horizontala kaj vertikala aksoj.[44][45]

Simetrioj povas aperi en la desegno de objektoj de ĉiuj tipoj. Ekzemploj estas bidverkado, mebloj, sablopentrado, nodoverkado, maskoj, kaj muzikaj instrumentoj. Simetrioj estas ŝlosila elemento en la verkaro de M.C. Escher kaj en multaj aplikoj de kahelado en artaj kaj metiartaj formos kiel ĉe tapeto, ceramikaj azuleĥoj kiel ĉe la islama geometria ornamado, batiko, ikato, tapiŝfarado, kaj multaj tipoj de modeloj en tekstilo kaj brodado.[46]

Simetrio estas uzata ankaŭ en la desegnado de logoo.[47] Kreante logoon sur kvadrata reto kaj uzante la teorion de simetrio, desegnistoj povas organizi sian verkadon, kreante simetrian aŭ nesimetrian desegnon, determini la spacon inter literoj, determini kiom multa negativa spaco estas necesa en la desegno, kaj kiel specife marki partojn de la logoo por fari ĝin stariĝi.

En estetiko

redakti

La rilato de simetrio al estetiko estas malsimpla. Homoj ĝenerale trovas duflankan simetrion en la homaj vizaĝoj fizike allogaj;[48] ĝi indikas sanon kaj genetikan bonfarton.[49][50] Male al tio estas foje percepto de la tendenco al troa simetrio kiel enua aŭ seninteresa. Rudolf Arnheim sugestis, ke homoj preferas formojn kiuj havas ioman simetrion, kaj sufiĉan kompleksecon por fari ilin interesaj.[51] Foje ankaŭ milda rompo de la simetrio povas esti alloga kromaĵo en la homaj vizaĝo kaj mieno, ekzemple malgrandaj strabismo, makulo, belgrajno aŭ nevuso ktp. Tiukadre eĉ postiĉaj belgrajnoj enmodiĝis en la dua duono de la 18-a jarcento en altrangaj etosoj de la kortegoj de Eŭropo kiel grava elemento de la virina aranĝo. Aliflanke multaj detaloj povas esti negative perceptataj eĉ ene de perfekta simetrio, kiel tro grandaj tranĉdentoj, oreloj ktp.

En literaturo

redakti

Simetrio povas troviĝi en variaj formoj en literaturo, simple ekzemple per la palindromo kie mallonga teksto legeblas same antaŭen aŭ malantaŭen. Alia vortorimedo konsistas en ripeto ĉu de vorto, ĉu de ideo, ekzemple "oni devas fari tion tuj tuj", "tiel tiumaniere" ktp.

Ankaŭ historioj de verkoj povas havi simetrian strukturon, kiel la modelo de plialtiĝo kaj malaltiĝo de Beowulf.[52] En poezio la strukturo de rimo en strofoj povas esti ordigita laŭ simetria modelo: nome AA (duverso), ABA (triverso), ABBA (kvarverso) ktp.

Bildaro

redakti

Nesimetrio

redakti

La nesimetrio, aŭ foresto de simetrio, estas propreco de difinitaj korpoj, desegnoj, matematikaj funkcioj kaj aliaj tipoj de elementoj en kiuj, se aplikita regulo de efektiva transformo, oni observas ŝanĝojn rilate al origina elemento. En statistiko, la koncepto de nesimetrio de distribuo indikas la horizontalan disformon de la distribuo de frekvenco. En matematiko oni diras, ke funkcio ne estas para, kiam tiu estas nesimetria rilate al vertikala akso.

Vidu ankaŭ

redakti
  1. "symmetry". Online Etymology Dictionary. [1] Alirita la 22a de Marto 2018.
  2. Zee, A. (2007). Fearful Symmetry. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13482-6.
  3. Symmetry and the Beautiful Universe, Christopher T. Hill and Leon M. Lederman, Prometheus Books (2005)
  4. Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 981-256-192-7.
  5. PIV
  6. Reta-Vortaro
  7. E. H. Lockwood, R. H. Macmillan, Geometric Symmetry, London: Cambridge Press, 1978
  8. Weyl, Hermann. [1952] (1982) Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
  9. Singer, David A.. (1998) Geometry: Plane and Fancy. Springer Science & Business Media.
  10. Stenger, Victor J. (2000) kaj Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.
  11. Bottema, O, kaj B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (Septembro 1990)
  12. Tian Yu Cao Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press p.154-155
  13. Gouyet, Jean-François. (1996) Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  14. Rotoreflection Axis. Alirita 2019-11-12.
  15. Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790
  16. . Propositional Logic: Introduction and Syntax (2019). Alirita 2019-11-12.
  17. Christopher G. Morris (1992) Academic Press Dictionary of Science and Technology Gulf Professional Publishing
  18. Petitjean, M. (2003). “Chirality and Symmetry Measures: A Transdisciplinary Review”, Entropy 5 (3), p. 271–312 (see section 2.9). doi:10.3390/e5030271. 
  19. Costa, Giovanni. (2012) Symmetries and Group Theory in Particle Physics: An Introduction to Space-Time and Internal Symmetries. Springer Science & Business Media.
  20. (1972) “More is Different”, Science 177 (4047), p. 393–396. doi:10.1126/science.177.4047.393. 
  21. Kosmann-Schwarzbach, Yvette. (2010) The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6.
  22. Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics 40 (1): 149–204, doi:10.2307/1968551 
  23. Valentine, James W. "Bilateria". AccessScience. [2] Arkivigite je 2008-01-18 per la retarkivo Wayback Machine Alirita la 29an de Majo 2013.
  24. Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). "Animal Diversity (Tria Eldono)" (PDF). Chapter 8: Acoelomate Bilateral Animals. McGraw-Hill. p. 139. [3][rompita ligilo] Alirita la 25an de Oktobro, 2012.
  25. Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. pp. 64–65.
  26. Longo, Giuseppe; Montévil, Maël (2016). Perspectives on Organisms: Biological time, Symmetries and Singularities. Springer. ISBN 978-3-662-51229-6. [4] Alirita la 23an de Marto 2018.
  27. Montévil, Maël; Mossio, Matteo; Pocheville, Arnaud; Longo, Giuseppe (2016). "Theoretical principles for biology: Variation". Progress in Biophysics and Molecular Biology. From the Century of the Genome to the Century of the Organism: New Theoretical Approaches. 122 (1): 36–50. doi:10.1016/j.pbiomolbio.2016.08.005. PMID 27530930. [5] Alirita la 23an de Marto 2018.
  28. (2005) Quantum Chemistry. Academic Press. ISBN 0-12-457551-X.
  29. Mach, Ernst. (1897) Symmetries and Group Theory in Particle Physics: An Introduction to Space-Time and Internal Symmetries. Open Court Publishing House.
  30. (1997) “Characteristics and models of human symmetry detection”, Trends in Cognitive Sciences 1 (9), p. 346–352. doi:10.1016/S1364-6613(97)01105-4. 
  31. (2010) “Sensitivity to reflection and translation is modulated by objectness”, Perception 39 (1), p. 27–40. doi:10.1068/p6393. 
  32. (1979) “The versatility and absolute efficiency of detecting mirror symmetry in random dot displays”, Vision Research 19 (7), p. 783–793. doi:10.1016/0042-6989(79)90154-8. 
  33. (2005) “Symmetry activates extrastriate visual cortex in human and nonhuman primates”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 102 (8), p. 3159–3163. doi:10.1073/pnas.0500319102. 
  34. (2013) “Electrophysiological responses to visuospatial regularity”, Psychophysiology 50 (10), p. 1045–1055. doi:10.1111/psyp.12082. 
  35. (2018) “The neural basis of visual symmetry and its role in middle and high-level visual processing”, Annals of the New York Academy of Sciences 132 (1), p. 280–293. doi:10.1111/nyas.13667. 
  36. Daniels, Norman (2003-04-28). "Reflective Equilibrium". In Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. [6] Alirita la 23an de Marto 2018.
  37. Emotional Competency: Symmetry [7] Alirita la 23an de Marto 2018.
  38. Lutus, P. (2008). "The Symmetry Principle". [8] Alirita la 23an de Marto 2018.
  39. Williams: Symmetry in Architecture. Members.tripod.com (1998-12-31). Alirita la 2013-04-16.
  40. Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture. Math.nus.edu.sg. Alirita la 2013-04-16.
  41. Derry, Gregory N.. (2002) What Science Is and How It Works. Princeton University Press, p. 269–. ISBN 978-1-4008-2311-6.
  42. 42,0 42,1 Behind the Scenes: Edgar Martins Speaks. New York Times (31a de Julio 2009). Alirita 11a de Novembro 2014. ““My starting point for this construction was a simple statement which I once read (and which does not necessarily reflect my personal views): ‘Only a bad architect relies on symmetry; instead of symmetrical layout of blocks, masses and structures, Modernist architecture relies on wings and balance of masses.’”.
  43. The Art of Chinese Bronzes Arkivigite je 2003-12-11 per la retarkivo Wayback Machine. Chinavoc (2007-11-19). Alirita en 2013-04-16.
  44. Marla Mallett Textiles & Tribal Oriental Rugs. The Metropolitan Museum of Art, New York.
  45. Dilucchio: Navajo Rugs Arkivigite je 2013-06-22 per la retarkivo Wayback Machine. Navajocentral.org (2003-10-26). Alirita en 2013-04-16.
  46. Cucker, Felipe. (2013) Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press, p. 77–78, 83, 89, 103. ISBN 978-0-521-72876-8.
  47. How to Design a Perfect Logo with Grid and Symmetry.
  48. (1994) “Human (Homo sapiens) facial attractiveness and sexual selection: the role of symmetry and averageness”, Journal of Comparative Psychology 108 (3), p. 233–42. doi:10.1037/0735-7036.108.3.233. 
  49. Rhodes, Gillian. (2002) Facial Attractiveness - Evolutionary, Cognitive, and Social Perspectives. Ablex. ISBN 1-56750-636-4.
  50. Jones, B. C., Little, A. C., Tiddeman, B. P., Burt, D. M., & Perrett, D. I. (2001). Facial symmetry and judgements of apparent health Support for a “‘ good genes ’” explanation of the attractiveness – symmetry relationship, 22, 417–429.
  51. Arnheim, Rudolf. (1969) Visual Thinking. University of California Press.
  52. Symmetrical Aesthetics of Beowulf. University of Tennessee, Knoxville (2009).

Eksteraj ligiloj

redakti
  • En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Symmetry en la angla Vikipedio.